Спектри на периодични и непериодични сигнали. Дискретизация на сигналите. Теорема на Котелников

Както e известно, в теорията на сигналите и системите се използват два класа математически представяния на сигналите във времевата координатна област и в честотната област. Всеки от тях дава възможност за изчерпателно аналитично описание на свойствата на даден вид сигнал. В този смисъл двата класа представяния на сигналите са еквивалентни.

На фиг.1.19 е изобразена  една част от сигнала S(t) с примерна продължителност Т= 10^-3, S= 1ms по оста, която се повтаря наляво и надясно по оста t, т.е. сигналът е периодичен с период T. На същата фигура и в същите мащаби са изобразени още четири функции F₀(t)...F₃(t). Едната от тях F₀(t) е константна величина, но може да се разглежда като хармонична функция с нулева честота f₀=0 (с период T₀→∞), т.е. с безкрайно бавно изменение по оста t. Останалите 3 функции са наистина хармонични (синусоиди).

Периодът T₁ на първата е равен на периода Т на S(t), a честотата ѝ е f₁=1/T₁=1/10^-3 = 1kHz

Периодите на втората и третата синусоиди са съответно T₂ = Т/2 и T₃ = Т/3 .  Следователно имаме f₂=1/T₂=2/10^-3 = 2kHz и f₃=1/T₃=3/10^-3 = 2kHz. За улеснение се приема, че всички амплитуди са равни на единица, а всички начални фази са равни на 0.

Чрез прилагане на графична суперпозиция (наслагване) на четирите синусоиди с f₀=0, f₁=1/T₁ , f₂=2f₁ , f₃=3f₁  от фиг.1.19, установяваме, че сигналът S(t) е сума от F₀(t),F₁(t), F₂(t) и F₃(t) и може да се запише
                    ₃
S(t) = Σ F_i (t), откъдето следва S(t) = 1 + sin2πf₁t + sin2πf₂t + sin2πf₃t 
        ^{i =0}
S(t) = 1 + sin2πf₁t + sin2π(2f₁)t + sin2π(3f₁)t = 1 + sin2ω₁t + sin2ω₁t + sin3ω₁t                   (1.34)

Дискретизация на сигналите.

От анализа на периодични сигнали знаем, че съществува зависимост между продължителността на сигнала ΔТ и широчината на неговия спектър Δf. Най-общо тази зависимост може да бъде представена с израза:

 Δf.ΔТ = const.                                                                                                                       (6.1)

Непрекъснатият сигнал (говор, музика, изходно напрежение от измервателни уреди, видеосигнал и т.н.) може се разглежда като съставен от безкраен брой тесни импулси, чиято широчина ΔТ →0 . От 6,1 следва, че трябва Δf →∞ т.е. каналът за връзка трябва да бъде с безкрайно широка честотна лента, което е практически непостижимо.

Решение на този проблем дава известната в математиката теорема на отчетите, формулирана от Уитекър в началото на ХХ в,, съгласно която сигнал, описван с непрекъсната функция във времето, може да бъде представен чрез дискретни стойности (отчети), отстоящи във времето на интервал
           1
Δt =  ─── 
         2Δf
Взети заедно, тези стойности представляват едно непрекъснато множество от краткотрайни импулси, отстоящи един от друг на интервали от време Δt →0 .

Замяната на един непрекъснат сигнал с последователност от отделни, дискретни стойности, представляващи отделни импулси на моментните стойности на сигнала, се нарича дискретизация на сигнала по време.

Освен по време, в практиката се използва още и дискретизация на сигнала по ниво на стойностите на изобразяващата сигнала величина. Дискретизацията по ниво намира широко приложение  в системите за радиовръзка, в цифрово-програмното управление на автоматизираните производствени системи и др.

Дискретизацията на сигнала дава следните значителни предимства:

• да се съкрати времето, през което каналът за връзка е зает за предаване на съответното съобщение от целия период на сигнала Т_с до Nτ_и , където τ_и е продължителността на импулса за предаване на една дискрета, а N е броя на дискретите.

• дава възможност за времево уплътняване на канала за връзка, когато по него могат да се предадат две и повече непрекъснати съобщения.

От гореизложеното следва, че при дискретизацията по време на непрекъснатия сигнал S(t), който е функция на непрекъснатия аргумент t, се извършва трансформация към непрекъснатия сигнал S(t_n) = S(nΔt), представляващ функция на непрекъснатия дискретен аргумент t_n= nΔt , където n = 1, 2, 3, ...  и  Δt = const.

Качеството на дискретизацията се оценява по точността (големината на грешката) с която се осъществява възстановяването на сигнала.


Теорема на Котелников.

Формулирана е през 1933 г. от В.А. Котелников като теорема за дискретизация на аналогови сигнали и служи за основа за прилагане на различните методи за импулсни връзки. С нея се теоретично се обосновава възможността за предаване на непрекъснати сигнали чрез предаване на техни отделни моментни стойности. Периодичната функция трябва да отговаря на условията на Дирихле:

• във всеки краен интервал тя да е непрекъсната или да има краен брой прекъсвания от първи род (при t, клонящо към точките на прекъсване от двете страни, функцията s(t) трябва да има крайни стойности);

• в границите на един период функцията s(t) трябва да има краен брой екстремуми.

Тогава може да се приложи разложението в ред на Фурие. Целта е всеки сложен периодичен сигнал да се сведе до сума от елементарни хармонични сигнали, които се наричат хармонични съставки (употребява се също само съставки или хармонични съставящи) или краткото хармоници (също и хармонични) на сложния сигнал.

 Теоремата Котелников се дефинира така:

Всяка непрекъсната функция (сигнал), която отговаря на условията на Дирихле и има ограничен честотен спектър, е напълно и еднозначно определена чрез своите моментни ординатни стойности, отчетени през равни интервали от време
           1
Δt =  ────  = Т_с                                                                              (6.2)
         2f_max
където f_max е най-високата честота, която се съдържа в ограничения честотен спектър на сигнала.

От 1.34, се вижда, че сигналът S(t) в този пример може да бъде представен като сума от четири хармонични съставящи. Честотата на първата (i=0) е нулева, т.е. тя е константа. Кръговата честота на втората (i=1) е ω₁ тази съставяща се нарича основна, понеже нейният период T₁ е равен на периода T на самия сигнал S(t);